Как образуется любое число в натуральном ряду. Числа. Натуральные числа. Порядок выполнения арифметических действий
История натуральных чисел началась ещё в первобытные времена. Издревле люди считали предметы. Например, в торговле нужен был счет товара или в строительстве счет материала. Да даже в быту тоже приходилось считать вещи, продукты, скот. Сначала числа использовались только для подсчета в жизни, на практике, но в дальнейшем при развитии математики стали частью науки.
Натуральные числа – это числа которые мы используем при счете предметов.
Например: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….
Нуль не относится к натуральным числам.
Все натуральные числа или назовем множество натуральных чисел обозначается символом N.
Таблица натуральных чисел.
Натуральный ряд.
Натуральные числа, записанные подряд в порядке возрастания, образуют натуральный ряд или ряд натуральных чисел.
Свойства натурального ряда:
- Наименьшее натуральное число – единица.
- У натурального ряда следующее число больше предыдущего на единицу. (1, 2, 3, …) Три точки или троеточие ставятся в том случае, если закончить последовательность чисел невозможно.
- Натуральный ряд не имеет наибольшего числа, он бесконечен.
Пример №1:
Напишите первых 5 натуральных числа.
Решение:
Натуральные числа начинаются с единицы.
1, 2, 3, 4, 5
Пример №2:
Нуль является натуральным числом?
Ответ: нет.
Пример №3:
Какое первое число в натуральном ряду?
Ответ: натуральный ряд начинается с единицы.
Пример №4:
Какое последнее число в натуральном ряде? Назовите самое большое натуральное число?
Ответ: Натуральный ряд начинается с единицы. Каждое следующее число больше предыдущего на единицу, поэтому последнего числа не существует. Самого большого числа нет.
Пример №5:
У единицы в натуральном ряду есть предыдущее число?
Ответ: нет, потому что единица является первым числом в натуральном ряду.
Пример №6:
Назовите следующее число в натуральном ряду за числами: а)5, б)67, в)9998.
Ответ: а)6, б)68, в)9999.
Пример №7:
Сколько чисел находится в натуральном ряду между числами: а)1 и 5, б)14 и 19.
Решение:
а) 1, 2, 3, 4,
5 – три числа находятся между числами 1 и 5.
б) 14, 15, 16, 17, 18,
19 – четыре числа находятся между числами 14 и 19.
Пример №8:
Назовите предыдущее число за числом 11.
Ответ: 10.
Пример №9:
Какие числа применяются при счете предметов?
Ответ: натуральные числа.
Простейшее число — это натуральное число . Их используют в повседневной жизни для подсчета предметов, т.е. для вычисления их количества и порядка.
Что такое натуральное число: натуральными числами называют числа, которые используются для подсчета предметов либо для указывания порядкового номера любого предмета из всех однородных предметов.
Натуральные числа - это числа, начиная с единицы. Они образуются естественным образом при счёте. Например, 1,2,3,4,5... - первые натуральные числа.
Наименьшее натуральное число - один. Наибольшего натурального числа не существует. При счёте число ноль не используют, поэтому ноль натуральное число.
Натуральный ряд чисел - это последовательность всех натуральных чисел. Запись натуральных чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на единицу.
Сколько чисел в натуральном ряду? Натуральный ряд бесконечен, самого большого натурального числа не существует.
Десятичной так как 10 единиц всякого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной так как значение цифры зависит от её места в числе, т.е. от разряда, где она записана.
Классы натуральных чисел.
Всякое натуральное число возможно написать при помощи 10-ти арабских цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Для чтения натуральных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по 3 цифры в каждой. 3 первые цифры справа - это класс единиц, 3 следующие - это класс тысяч, далее классы миллионов, миллиардов и так далее. Каждая из цифр класса называется его разрядом .
Сравнение натуральных чисел.
Из 2-х натуральных чисел меньше то число, которое при счете называется ранее. Например , число 7 меньше 11 (записывают так: 7 < 11 ). Когда одно число больше второго, это записывают так: 386 > 99 .
Таблица разрядов и классов чисел.
|
1-й класс единицы |
1-й разряд единицы 2-й разряд десятки 3-й разряд сотни |
|
2-й класс тысячи |
1-й разряд единицы тысяч 2-й разряд десятки тысяч 3-й разряд сотни тысяч |
|
3-й класс миллионы |
1-й разряд единицы миллионов 2-й разряд десятки миллионов 3-й разряд сотни миллионов |
|
4-й класс миллиарды |
1-й разряд единицы миллиардов 2-й разряд десятки миллиардов 3-й разряд сотни миллиардов |
|
Числа от 5-го класса и выше относятся к большим числам. Единицы 5-го класса — триллионы, 6-го класса — квадриллионы, 7-го класса — квинтиллионы, 8-го класса — секстиллионы, 9-го класса — ептиллионы. Основные свойства натуральных чисел.
Действия над натуральными числами. 4. Деление натуральных чисел - операция, обратная операции умножения. Если b ∙ с = а , то
Формулы для деления: а: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (а ∙ b) : c = (a:c) ∙ b (а ∙ b) : c = (b:c) ∙ a Числовые выражения и числовые равенства. Запись, где числа соединяются знаками действий, является числовым выражением . Например, 10∙3+4; (60-2∙5):10. Записи, где знаком равенства объединены 2 числовых выражения, является числовыми равенствами . У равенства есть левая и правая части. Порядок выполнения арифметических действий. Сложение и вычитание чисел - это действия первой степени, а умножение и деление - это действия второй степени. Когда числовое выражение состоит из действий только одной степени, то их выполняют последовательно слева направо. Когда выражения состоят из действия только первой и второй степени, то сначала выполняют действия второй степени, а потом - действия первой степени. Когда в выражении есть скобки - сначала выполняют действия в скобках. Например, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21. |
Числа, предназначенные для подсчета предметов и отвечающие на вопрос «сколько?» («сколько
мячей?», «сколько яблок?», «сколько солдатиков?»), называются натуральными.
Если записать их по порядку, от меньшего числа к большему, то получится натуральный ряд чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001 …
Натуральный ряд чисел начинается с числа 1.
Каждое следующее натуральное число на 1 больше предыдущего.
Натуральный ряд чисел бесконечен.
Числа бывают четные и нечетные. Четные числа делятся на два, а нечетные числа не делятся на два.
Ряд нечетных чисел:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 99, 101, …, 999, 1001, 1003 …
Ряд четных чисел:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 98, 100, …, 998, 1000, 1002 …
В натуральном ряду нечетные и четные числа чередуются:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 99, 100, …, 999, 1000 …
Как сравнивать натуральные числа
При сравнении двух натуральных чисел больше то, которое стоит в натуральном ряду правее:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
Так, семь больше трех, а пять больше единицы.
В математике для записи слова «меньше» используют знак «<», а для записи слова «больше» - знак « > ».
Острый уголок значков «больше» и «меньше» всегда направлен в сторону меньшего из двух чисел.
Запись 7 > 3 читается как «семь больше трех».
Запись 3 < 7 читается как «три меньше семи».
Запись 5 > 1 читается как «пять больше одного».
Запись 1 < 5 читается как «один меньше пяти».
Слово «равно» в математике заменяют знаком «=»:
Когда числа большие, трудно сразу сказать, какое из них стоит правее в натуральном ряду.
При сравнении двух натуральных чисел с разным количеством цифр больше из них то, в котором цифр больше.
Например, 233 000 < 1 000 000, потому что в первом числе шесть цифр, а во втором - семь.
Многозначные натуральные числа с одинаковым количеством цифр сравниваются поразрядно, начиная со старшего разряда.
Сначала сравниваются единицы самого старшего разряда, потом - следующего за ним, следующего и так далее. Например, сравниваем числа 5401 и 5430:
5401 = 5 тысяч 4 сотни 0 десятков 1 единица;
5430 = 5 тысяч 4 сотни 3 десятка 0 единиц.
Сравниваем единицы тысяч . В разряде единиц тысяч числа 5401 - 5 единиц, в разряде единиц тысяч числа 5430 - 5 единиц. Сравнив единицы тысяч, еще нельзя сказать, какое из чисел больше.
Сравниваем сотни . В разряде сотен числа 5401 - 4 единицы, в разряде сотен числа 5430 - тоже 4 единицы. Надо продолжать сравнение.
Сравниваем десятки . В разряде десятков числа 5401 - 0 единиц, в разряде десятков числа 5430 - 3 единицы.
Сравнив, получим 0 < 3, поэтому 5401 < 5430.
Числа можно располагать в порядке убывания и в порядке возрастания.
Если в записи нескольких натуральных чисел каждое следующее число меньше предыдущего, то говорят, что числа записаны в порядке убывания.
Запишем числа 5, 22, 13, 800 в порядке убывания.
Отыщем большее число. Число 5 - однозначное, 13 и 22 - двузначные, 800 - трехзначное число и, следовательно, самое большое. Пишем на первом месте 800.
Из двузначных чисел 13 и 22 большее 22. Пишем за числом 800 число 22, а затем 13.
Наименьшее число - однозначное число 5. Пишем его последним.
800, 22, 13, 5 - запись данных чисел в порядке их убывания.
Если в записи нескольких натуральных чисел каждое следующее число больше предыдущего, то говорят, что числа записаны в порядке возрастания.
А как записать числа 15, 2, 31, 278, 298 в порядке возрастания?
Среди чисел 15, 2, 31, 278, 298 отыщем меньшее.
Это однозначное число 2. Запишем его на первом месте.
Из двузначных чисел 15 и 31 выбираем меньшее - 15, пишем его на втором месте, а за ним - 31.
Из трехзначных чисел 278 - меньшее, пишем его за числом 31, а последним пишем число 298.
2, 15, 21, 278, 298 - запись данных чисел в порядке возрастания
